[AI class day 7] 인공지능 수학- 미적분 TIL

1. LU 분해(LU decomposition)

LU분해는 지금까지 배운 가우스 소거법을 알고리즘의 형태가 아닌 행렬의 결과물로 표현하는 방식

가우스 소거법을 프로그래밍적으로 지원하는 알고리즘이 존재
numpy는 LU분해라는 방식으로 제공

 

1) 행렬분해(matrix decomposition)의 의미

어떤 숫자를 인수분해 한 상태로 가지고 있으면 계산이 편한 경우 많음 ex> 분수의 약분, 최대공약수, 최소공배수...

행렬도 행렬분해한 상태로 가지고 있으면 계산이 편한 경우가 많음

 

행렬분해의 종류

• LU 분해(LU decomposition)
• QR 분해(QR decomposition)
• 특이값 분해(SVD, Singular Value decomposition)

LU분해는 가우스 소거법을 행렬의 형태로 나타낸 것

 

2) LU 분해 LU decomposition 란?

• L : lower triangular matrix(하삼각행렬)
• U : upper triangular matrix(상삼각행렬)

LU 분해는 주어진 행렬을 아래의 형태를 가지는 두 행렬의 곱으로 나누는 행렬분해

 

 

 

주어진 행렬 A를 LU 분해했을 때의 장점

Ax=b문제를 아래와 같이 나타내면

Ax = b ->

(LU)x = b -> 

L(Ux) = b ->

Ly = b (단, Ux = y)

선형시스템을 다음과 같이 두 단계로 간단히 해결할 수 있게 됨

 

1. y를 구하는 단계 -> Forward-substitution(전방대치법): y구하기
2. x를 구하는 단계 -> Back-substitution(후방대치법): 1번을 통해 구한 y를 이용해 x구하기

Ly = b를 만족하는 y구하기

 

Ux = y를 만족하는 x 구하기

3) LU decomposition(LU 분해)의 의미

LU 분해는 가우스 소거법의 forward elimination(전방소거법)을 행렬로 코드화 한 것

• L : 행렬 A를 전방소거하는데 쓰인 replacement와 scaling에 대한 EROs를 기록해 둔 행렬
• U : 행렬 A를 전방소거한 후 남은 upper triangular matrix(상삼각행렬)
• P : 행렬 A를 전방소거하는데 쓰인 interchange에 대한 EROs를 기록해 둔 행렬(옵션)

(그래서 사실 LU분해라고 하면, A = PLU 가 리턴이 된다.)

 

4) LU decomposition(LU 분해)의 활용

LU 분해는 다음의 이유로 활용된다.

• 수치적 안정성 : 선형시스템 Ax = b의 해를 역행렬 A^-1를 이용해 직접 구하는 것 보다 PLU 분해를 이용하는 것이 좀 더 수치적으로 안정적
• b가 자주 업데이트 되는 경우 : 선형시스템 Ax = b 에서 행렬 A는 고정되어 있고 b가 자주 변하는 문제가 종종 있다. 이런 경우, 행렬 A를 미리 PLU로 분해해 둔다면, b가 업데이트될 때마다 선형시스템의 해 x를 실시간으로 구할 수 있습니다. (공학적으로 LU분해를 이용하는 이유)

5) 프로그래밍 실습

파이썬의 numpy, scipy 라이브러리 활용

 

import numpy as np
import scipy        
import scipy.linalg

# 행렬 A 코딩
A = np.array([[3, 1, 1], [1, -2, -1], [1, 1, 1]])

# LU 분해
P, L, U = scipy.linalg.lu(A)

# 검증
AA = P @ L @ U
if np.linalg.norm(A - AA) < 1e-3:
  print("Ok")
else:
  print("something wrong")

>> Ok

#LU 분해를 활용해 Ax = b 풀기

b = np.array([4, 1, 2])

# LU 분해
lu, piv = scipy.linalg.lu_factor(A)
x = scipy.linalg.lu_solve((lu, piv), b)

#검증
bb = A@x

if np.linalg.norm(b - bb) < 1e-3:
  print("Ok")
else:
  print("something wrong")

>>Ok

 

* piv : 최종 permutation matrix

           행간 교환 연산을 행렬의 곱으로 만들어주는 역할

 

 

2.  행렬연산과 선형조합

1. 행렬 표기법과 관련 용어

1) 행렬이란

행렬(matrix)은 직사각형 구조에 숫자들을 담아 놓은 구조

행렬 안 각 숫자들은 행렬의 요소(entry)

• 행렬 벡터 :하나의 행이나 열을 가지는 특수한 행렬을 각각 행 벡터row vector, 열 벡터column vector라고 한다.
• 스칼라(Scalar) : 1 x 1 행렬
• m∗n 행렬 :  m∗n개의 숫자가 직사각형 구조에 채워진 형태

주요 표기법

• 행렬 A의 각 (i, j)요소는 a_ij로 나타낸다.
• 행렬 A를 간략히 표기할 때 A = [a_ij]로 나타낸다.
• 행렬 A의 크기가 중요할 경우는A = [a_ij]_{m x n}로 나타낸다.

2) Transpose Matrix(전치행렬)

m x n 행렬 A에 대한 transpose matrix(전치행렬) A^T는 A의 행을 열로, A의 열을 행으로 가지는 n x m행렬이다. 즉, (A^T)_ij = (A)_ij를 만족한다.

전치 행렬

3) 벡터 표기법

벡터는 볼드체 소문자 x로 표기한다. 선형대수에서는 벡터라고 하면 보통 열벡터를 가리킴

주요 표기법

• 벡터라고 하면 일반적으로 열벡터(column vector)를 말한다.
• n-벡터는 n개의 스칼라(scalar)로 구성된 열벡터를 말한다.

4) Zero Matrices(영행렬)

행렬의 모든 요소가 0이면, 해당 행렬을 영행렬(zero matrix)라 하고 O로 표기한다.

 

A + O = O + A = A

 

• 숫자 세계에서의 0과 같은 존재
• 교환법칙 등 또한 성립
• 행렬합에 대한 항등원 역할

5) Square Matrix(정방행렬) - n x n 행렬

행과 열의 개수가 모두 n인 정사각형(square)모양의 행렬을 n차 square matrix(정방행렬)이라 한다.
특히, a_ii (i = 1,2,..., n)를 행렬 A_n의 main diagonal(주대각선)이라 한다.

6) A^T(항등행렬)

주대각선(main diagonal)이 1이고 나머지 요소는 모두 0인 n차 정방행렬(square matrix)을 항등행렬(identify matrix)이라 한다.

항등행렬

숫자의 1과 같은 존재

행렬곱에 대한 항등원 역할

7) 행렬의 곱 (중요)

m x r행렬 A = [a_ij] 와 행렬 B = [b_ij] 가 있을 때, 두 행렬의 곱 AB는 m x n 행렬 C = [c_ij] 를 정의한다.
여기서 두 행렬의 곱 AB로 정의된 행렬 C의 각 (i, j)-요소는 다음과 같이 정의된다.

 

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_irb_rj

 

(A의 행 * B의 열) 즉 내적의 값을 나열한 것이다

 

행렬의 곱에서 반드시 숙지해야할 사항

• 행렬 C의 각 요소 cij는 ‘곱의 왼쪽 행렬 A의 i번째 행벡터’와 ‘곱의 오른쪽 행렬 B의 j번째 열벡터’의 내적(inner product)이다.
  • 따라서, 두 행렬의 곱 AB에 대해 A의 열 개수와 B의 행 개수는 일치해야 한다.
  • 일반적으로 AB != BA이다. 왜냐하면 행과 열을 뽑아오는 방법이 다르기 때문이다. 교환법칙이 성립하지 않는다.
• 행렬의 곱은 병렬처리(parallel processing)로 가속할 수 있다. 즉 독립적으로 계산될 수 있다. (중요)

2. 스칼라, 벡터, 행렬, 그리고 텐서: 계층적 구조 이해하기

1) 스칼라 -> 벡터 -> 행렬

• 스칼라는 숫자 하나 : 7
• 이 스칼라를 벡터로 표현하면 1개의 구성요소로 이루어진 1-벡터 : [7]
• 이 스칼라를 행렬로 표현하면 1개의 구성요소로 이루어진 1*1 행렬 : [7]_{1 x 1}

2) 벡터 -> 행렬

 

벡터는 여러 숫자가 일열로 늘어선 구조이다.

이 벡터를 행렬로 표현하면 여러 모양의 행렬로 표현할 수 있다.

• 4x1 행렬
• 2x2 행렬
• 2x2 행렬의 전치행렬
• 1x4 행렬

표현하고자 하는 행렬의 모양은 응용문제에 따라 결정!

3) 행렬 -> 벡터

행렬은 사각형 구조에 여러 숫자가 행과 열로 늘어선 구조이다.

 

2x3 행렬

이 행렬은 다음과 같이 6-벡터로 표현할 수 있다.

 

6-벡터

행렬을 벡터로 변환할 때, 행부터 혹은 열부터 읽을 것인지는 응용문제에 따라 결정!

4) 텐서

텐서(tensor)는 스칼라, 벡터, 행렬을 아우르는 개념이다. 숫자가 늘어설 수 있는 방향이 k개면 k-텐서로 부른다.

• 0-텐서 : 스칼라 (숫자가 늘어설 수 있는 방향이 없다)
• 1-텐서 : 벡터 (숫자가 늘어설 수 있는 방향이 한 방향이다)
• 2-텐서 : 행렬 (숫자가 늘어설 수 있는 방향이 두 방향이다)
• 3-텐서 : 만일 아래의 T의 각 요소 Pij가 벡터라면, T는 3-텐서로 볼 수 있다.

3-텐서

3-텐서의 대표적인 예는 컬러영상이다. P_ij가 3-벡터이면 RGB영상을, 4-벡터이면 RGBA영상을 나타낸다.

3. 분할행렬(Partitioned Matrix)

1) 분항행렬이란?

• 선형대수를 이해하기 위해 가장 중요한 개념
• 행렬을 조각(partition) 단위로 분할하여 생각해도 무방하다.
  • --> 행렬은 부분행렬(submatrix)로 이루어진 직사각형 구조로 확장해서 생각할 수 있다. 
• 행렬을 구조적으로 보는 방법
• 행렬을 조각조각 분할(행벡터 단위로, 열벡터 단위로, …)해서 계산해도 됨
• 행렬은 행벡터의 모임(->열벡터처럼 보임)  / 열벡터의 모임(->행벡터처럼 보임)으로 나타낼 수 있다
• 보통 열벡터의 모임으로 많이 씀
•  

출처: https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/213-let-matrices-b-partitioned-follows-2-1-2-1-1-10-3-2-0--b-2-1-1-2-11-011-1-2-3-1-2-find-q39983058

2) 분할행렬로 행렬의 곱 이해하기

두 행렬의 곱 AB = C를 아래와 같이 matrix-column vector products로 볼 수 있다.

AB = A * [b₁ b₂ ... b_n](열벡터의 모임) = [Ab₁ Ab₂ ... Ab_n] = C

 

예를 들면, A2 x 3 B 3 x 2 = C 2x2을 다음과 같이 구조적으로 해석할 수 있다.

 

A∗[b1b2]A∗[b1b2] = [Ab1Ab2][Ab1Ab2]

 

두 행렬의 곱 AB = C를 아래와 같이 row vector-matrix products로도 볼 수 있다.
AB =  [a1 a2 ... am](행벡터의 모임)*B = [a1B a2B ... amB] = C

예를 들면,A2 x 3 B 3 x 2 = C 2x2 을 다음과 같이 구조적으로 해석할 수 있다.

[a1a2]∗B=[a1Ba2B][a1a2]∗B=[a1Ba2B]

4. 선형조합(Linear Combination): Ax는 A의 열벡터에 대한 선형조합

1) 행렬을 구조적으로 보기

행렬을 숫자들의 모임이 아닌 행렬은 열벡터의 리스트로 보기

 

ai는 행렬 A의 i-번째 열벡터이다. 특히 각 열벡터는 m-벡터이기 때문에, m x n 행렬은 m-벡터가 n개 있다고 해석한다.

2) 행렬@벡터 연산을 구조적으로 보기

Ax는 행렬 A가 가지고 있는 열벡터의 선형조합이다.

 

행렬A: m-벡터 n개 

x : n- 벡터

--> 스칼라 x 벡터의 곱을 합한 것이 됨

 

선형대수에서는 이처럼 벡터들에 대한 가중치 합을 선형조합(linear combination)이라 부른다.
Ax의 결과는 행렬 A가 가지고 있는 열벡터의 선형조합으로만 한계가 지어진다.

(좌항을 아무리 복잡하게 만들어도 A의 벡터들의 가중치 합을 벗어날 수 없다)

3) [중요] 선형시스템 Ax = b를 선형조합 관점에서 바라보기

 

선형조합의 관점에서 본 Ax = b

(정리) 선형시스템 Ax=b를 선형조합 관점에서 바라보기
행렬 A의 열벡터를 가중치합으로 선형조합할 때 벡터 b를 만들 수 있는 가중치 조합이 존재한다면, 선형시스템 Ax=b의 해는 존재한다.

그 해는 가중치 xi들로 구성된 x이다.

4) Column Space(열공간)

행렬 A의 열벡터들에 대한 가능한 모든 선형조합의 결과를 모아 집합으로 구성할 수 있을 것이다.

이 집합을 column space(열공간)이라 하고 다음과 같이 표기한다.

 

col(A)

 

Consistent Linear System
선형시스템 Ax=b가 해를 가지면 다음을 만족한다.
b∈col(A)

Consistent Linear System
선형시스템 Ax=b가 r가 없으면 다음을 만족한다.
b∉col(A)

 

 예제)

xy평면 상 존재하는 col(A)를 가지는 행렬 A

위의 행렬의 col(A)은 xy 평면이다.

따라서 xy 평면 상의 3-벡터 b를 이용해 Ax = b를 구성하면, 해당 선형시스템의 해는 존재하지만

xy평면을 벗어난 3-벡터 b를 이용해 선형시스템 Ax = b 를 구성하면, 해당 선형시스템의 해는 존재하지 않는다. 

 

3. 좌표계 변환(Change of Basis): 좌표계::좌표값 = 행렬::벡터

Ax = Ib

A : 좌표계
x : 좌표값
| : 표준좌표계
b: 좌표값

1) 벡터의 표현

벡터는 크기와 방향을 가진 물리량

1. 벡터의 물리적 표현(좌표계 없는 표현)
벡터 v를 화살표로 표현한다.

• v의 크기 : 화살표의 길이
• v의 방향 : 화살표의 방향

2. 벡터의 수학적 표현(좌표계 있는 표현)
벡터 v를 화살표로 표현한다.
좌표계를 도입한 후, 벡터의 시작점을 원점에 맞추고 끝점의 위치(x,y) 를 벡터 v의 수학적 표현으로 정의한다. (숫자로 계산 가능)

• v의 크기 : 화살표의 길이를 계산
• v의 방향 : 화살표의 방향을 벡터로 표현

2) 좌표계(Coordinate System)

좌표를 쓴다는건 좌표계가 있다는 것

 

다음과 같이 2-벡터 v가 주어졌다고 하자. 이 벡터는 xy-평면 상에서는 원점 (0, 0)에서 시작하여 (a, b)에서 끝나는 벡터를 의미한다.

v는 다음과 같이 해석될 수 있다.

 

결과적으로 항등행렬 자체가 직교좌표계를 표현한다고 정리할 수 있다. 그리고 각각의 좌표값은 일종의 각 축에 내린 수선의 발과 의미를 같이한다.

항등행렬을 좌표계로 볼 수 있다면, 다른 행렬 또한 좌표계로 볼 수 있다.
만일 두 벡터 v1과 v2를 이용해 새롭게 좌표계를 만든다면 v의 좌표값은 무엇일까?

새로운 좌표계를 만든다는 말은 어떤 벡터 v에 도착하기 까지의 과정을 오롯이 v1과 v2를 몇번 사용하여 도착했는지로 표현한다는 의미이다.

 

[v]의 앞에는 사실 항등행렬이 숨겨져 있다.

 

즉, 좌표계(표준좌표계)가 숨겨져 있다.
위 식의 (좌항)과 (우항)이 표현하는 바는 다음과 같다.

• (좌항) : v1과 v2를 기저(basis)로 가지는 좌표계(coordinate system)에서는 동일한 벡터 v의 좌표값은 (4, 3)이다.
• (우항) : e1과 e2를 기저(basis)로 가지는 표준좌표계(standard coordinate system)에서 벡터 v의 좌표값은 (a, b)이다.

3) 좌표계 변환(Change of Basis)

선형시스템(linear system)문제를 좌표계 변환으로 바라보면 다음과 같다.

Ax = b

 

A는 좌표계이다.

x는 좌표계에 대한 좌표값이다.

b는 좌표값인데

그 앞에 표준좌표계(I, 항등행렬)이 숨겨져 있다.

 

• (좌항) : A의 열벡터들을 기저(basis)로 가지는 좌표계에서는 동일 벡터의 좌표값은 x이다.
• (우항) : 표준좌표계(standard cordinate system)에서 어떤 벡터의 좌표값은 b이다.

역행렬을 이용해 선형시스템의 해를 구하는 문제 역시 좌표계 변환으로 바라볼 수 있다.

 

x = A^-1b

 

• (좌항) : 표준좌표계(standard cordinate system)에서 어떤 벡터의 좌표값은 x이다.
• (우항) : A^-1의 열벡터들을 기저(basis)로 가지는 좌표계에서는 동일 벡터의 좌표값은 b이다.

--> Ax = b를 기준으로 하면 b 앞에 표준좌표계(항등행렬)이 붙음

      역행렬을 하면 x를 기준으로 x 앞에 표준좌표계(항등행렬)이 붙음
--> 동일한 문제이지만 바라보는 관점에 따라 다르게 표현될 수 있다. 선형시스템은 좌표계 변환이라고 해석할 수 있다.

정리

행렬은 좌표계이고, 벡터는 좌표값이다.

임의의 v는 다양한 좌표계에서 표현될 수 있다.

 

v = A [v]_A

v = B [v]_B

 

v: 표준좌표계에 표현된 v

A : 좌표계 A

[v]A: 좌표계 A에서 표현된 v

B : 좌표계 B

[v]B: 좌표계 B에서 표현된 v

 

 

[v]A를 구했다는 것은 A라는 행렬이 정의하는 좌표계의 각각의 basis들을 몇번 써서 v라는 지점에 도착할 수 있는지를 구한 것이다.
결론적으로, 좌표계를 행렬로 구성하고, 그 옆에 곱해져있는 벡터를 해당 좌표계에서의 좌표값이라고 할 수 있다.
이와 같은 수식을 통해 A 또는 B 좌표계 기준으로 표준좌표계를 쓸 수 있다.

 

예제: 좌표계 변환(Change of Basis)

 

1. 2-벡터 벡터 v가 표준좌표계에서 (2,3)으로 표현된다고 하자. 벡터(3,1)과 (1,-2)를 기저벡터로 가지는 새로운 좌표계를 도입했을 때, 해당 벡터 v는 어떤 좌표값을 가질까?

 

2. 3-벡터 벡터 v가 표준좌표계에서 (2,1,3)으로 표현된다고 하자. 벡터(1,3,1)과 (1,-2,2)를 기저벡터로 가지는 새로운 좌표계를 도입했을 때, 해당 벡터 v는 어떤 좌표값을 가질까?

 

(표준좌표계는 3x3인 3차원 좌표계였지만 --> 2차원 좌표계로 변환한 경우)

4. 선형변환(Linear Transformation) : 행렬은 선형함수다. (입력: 벡터 출력: 벡터)

1) 함수 복습

함수의 개념 : 함수는 상자(함)에 입력(input)이 들어가면 어떤 기능을 수행한 다음 출력을 뱉어내는 블랙박스

 

domain(정의역): 입력이 정의되는 집합 D

codomain(공역): 출력이 정의되는 집합 C

range(치역): codomain 중 실제 함수의 출력이 나오는 부분집합

 

함수 f는 D의 각 원소 x가 C의 한 원소 y(=f(x))에 대응되는 매핑룰(mapping rule)

 

f: D -> C

 

라고 표시할 수 있다.

 

f(x)=x2+2x+3

 

는 domain, codomain이 실수이니까

f: R -> R

로 표시 가능

C-스타일 프로그래밍으로 위의 함수 f를 구현한다면?

입출력으로 실수 집합 R(real number)을 다루는 함수라는 것을 명시하기 위해 입출력 타입을 float으로 한다.

float f ( float x ) { return x*x + 2*x + 3; }

2) 선형함수(Linear Function)와 선형 변환

1. 선형함수

만일 함수 f가 아래 두가지 조건을 만족하면 함수 f를 선형함수(linear function)이라 한다.
(선형함수란? 그려봤을때 직선 형태, 평면 형태)

 

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(cx)=cf(x)

(단, c는 임의의 스칼라)

 

• 임의의 두 입력에 대해,
  • ‘+연산을 먼저 수행한 결과를 함수 입력으로 넣고 함수를 수행한 결과’와
  • ‘각 입력에 대해 함수를 수행한 후 나온 결과에 대해 +연산을 수행한 결과’는 같다.
• 임의의 입력에 대해, ‘
  • 스칼라 곱셈 연산을 먼저 수행한 다음 함수를 수행한 결과’와
  • ‘입력에 대해 함수를 수행한 후 나온 결과에 대해 스칼라 곱셈 연산을 수행한 결과’는 같다.
    
    

2. 선형 변환 변환(Transformation)

함수의 입력이 n-벡터이고 출력이 m-벡터인 함수 T를 생각해 보자.

이와 같이 함수의 입출력이 벡터인 함수를 변환(transformation)라 한다.

T : Rⁿ -> R^m

특별히 n=m인 경우, 해당 변환을 연산자(operator)라고 한다.

변환의 예 : MNIST 손글씨 인식 문제
예를 들어, 28x28 해상도의 손글씨 숫자영상을 그레이스케일로 받아, 0부터 9까지의 어떤 숫자가 적혀있는지 알아내는 MNIST 손글씨 인식 문제는 다음과 같은 (비선형)변환이다. 함수가 아니라 변환이라고 한다.

 

T: R^{2 x 28} -> R¹⁰

 

 

인공지능의 변환은 대부분 선형변환이 아니라 비선형 변환이다. 

4) 행렬변환(Matrix Transformation)

m x n행렬 A에 대해 Ax는 n-벡터를 입력으로 받아 m-벡터를 출력으로 내는 변환 TA(x) = Ax 으로 볼 수 있다.

이 변환은 행렬이 정의하기 때문에 행렬변환(matrix transformation)이라고 한다.

 

T_A: Rⁿ -> R^m

 

그런데 행렬변환은 다음의 선형함수 성질을 모두 만족하기 때문에 선형변환(linear transformation)이다.

 

T_A(x + y) = T_A(x) + T_A(y)
T_A(cx) = cT_A(x)

(단, x,y∈Rnx,y∈Rn이고, c는 임의의 스칼라

T_A를 행렬 A라고 생각하고 보면 쉽다. 행렬은 입출력이 벡터이기 때문에 함수 중에서도 특별한 변환(transformation)이 된다. 즉 행렬은 선형변환이다.

 

정리
mxn 행렬은 n-벡터를 입력으로 받아 m-벡터를 출력으로 내는 선형변환이며, 임의의 선형변환은 행렬로 표현가능하다.

즉, 행렬은 선형변환의 구현체이다.

3) 표준행렬(standard matrix): 선형변환 코딩하기

1. 행렬변환 코딩하기

1. 구현하고자 하는 기능(function)의 입력과 출력이 벡터로 정의되는지 확인한다. 벡터가 아니면 변환이 아니기 때문에 행렬로 구현할 수 없다.
2. 구현하고자 하는 기능이 선형인지 확인한다.
3. 입력이 n-벡터이고, 출력이 m-벡터이면 m x n표준행렬(standard matrix) 을 구성한다.

2. 표준행렬(Standard Matrices)을 이용한 선형변환 코딩

다음의 m x n표준행렬(standard matrix) 을 구성하여 우리가 원하는 방식대로 동작하는 행렬변환 TA: Rn -> Rm을 코딩할 수 있다.
A = [TA(e1) TA(e2) … TA(en)]m∗n

 

정리 : 표준행렬 구하기

• n-차원 표준기저벡터 e1,e2,…,en을 생각한다.
• 각 n-차원 표준기저벡터 ei에 대해, 우리가 원하는 기능을 동작시켜 얻은 결과인 m-차원 벡터 T(ei)를 표준행렬의 각 열에 적는다.

예제:  표준행렬(Standard Matrices)을 이용한 선형변환 코딩

 

1. 2차원 벡터를 입력으로 받아, 해당 벡터를 x-축에 프로젝션(투영)하는 기능을 구현

 

2. 2차원 벡터를 입력으로 받아, 해당 벡터를 반시계 방향으로 θ만큼 회전하는 기능을 구현

-> 벡터로 입력받아 벡터로 출력되는지 확인, 선형인지 확인